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Bentornati su izytech.dev ! Nel precedente articolo abbiamo scoperto come simulare la divisione utilizzando l'Inverso Moltiplicativo e l'Algoritmo di Euclide. Tuttavia, abbiamo lasciato in sospeso una domanda enorme riguardo all'esponenziazione modulare. Sappiamo calcolare potenze gigantesche, ma abbiamo imparato una regola piuttosto strana: l'esponente non vive nello stesso mondo modulare della base . Se la base vive in un mondo mod N , dove vive l'esponente? Oggi esploreremo questo "universo parallelo" e introdurremo il trucco matematico dietro la crittografia moderna: il Teorema della Funzione Totiente di Eulero . La Funzione Totiente: un mondo parallelo Per comprendere il comportamento degli esponenti nell'aritmetica modulare, dobbiamo introdurre un nuovo concetto chiamato Funzione Totiente (spesso rappresentata con la lettera greca Phi, Φ(N) ). La funzione totiente di un intero positivo N è semplicemente il conteggio...

Bentornati su izytech.dev ! Nel precedente articolo abbiamo scoperto come simulare la divisione in aritmetica modulare utilizzando l'Inverso Moltiplicativo e l'antico Algoritmo di Euclide. Ora che sappiamo sommare, moltiplicare e "dividere" i numeri in modo sicuro, ci troviamo di fronte all'ostacolo più grande di tutti: le potenze . Nella crittografia moderna, cifrare e decifrare un messaggio significa prendere un numero (il messaggio) ed elevarlo a una potenza colossale (la chiave) all'interno di un mondo modulare. Ma come fanno i computer a gestire numeri così incredibilmente grandi senza andare in crash? Il problema dei numeri giganteschi Se lavoriamo con numeri piccoli, l'esponenziazione è semplice. Calcolare 3 elevato alla 5a potenza (3 5 ) in un mondo "modulo 143" si può fare anche a mente o con una normale calcolatrice, riducendo semplicemente il risultato finale. Ma cosa succede se dobbiamo calcolare 12.345 el...

Bentornati su izytech.dev ! Nel precedente articolo abbiamo esplorato il cuore pulsante della crittografia: l'aritmetica modulare. Abbiamo visto come i computer utilizzino la matematica dei "resti" per mantenere i numeri piccoli e i calcoli ultra-veloci. Tuttavia, avevamo concluso la lezione con un grosso ostacolo: in questo mondo circolare, la divisione non esiste . Se non possiamo dividere un numero per decifrare un messaggio, come facciamo a tornare indietro? La risposta risiede in uno dei concetti più affascinanti della teoria dei numeri: l' Inverso Moltiplicativo e un algoritmo vecchio di millenni che ci permette di calcolarlo. L'Illusione della Divisione Pensate alla matematica tradizionale. Dividere un numero per 5 è esattamente la stessa cosa che moltiplicarlo per 1/5 (il suo reciproco). In crittografia, usiamo la stessa identica logica, ma poiché non possiamo usare i numeri decimali o le frazioni, dobbiamo trovare un numero intero...

Bentornati su izytech.dev ! Nel precedente articolo abbiamo esplorato l'importanza dell'esattezza matematica e di come i numeri primi e il Massimo Comune Divisore costituiscano i mattoni fondamentali della sicurezza informatica. Oggi facciamo un passo avanti decisivo introducendo lo strumento operativo più importante di questa disciplina: l' Aritmetica Modulare . Se i concetti visti nella prima lezione rappresentano i materiali da costruzione, l'aritmetica modulare è il vero motore matematico che fa girare gli algoritmi crittografici moderni. Scopriamo insieme come funziona e perché la usiamo costantemente ogni giorno, spesso senza rendercene conto. Che cos'è l'Aritmetica Modulare? (La matematica dell'orologio) L'aritmetica modulare è, in parole semplici, la matematica dei resti . Invece di muoverci lungo una retta numerica infinita, lavoriamo all'interno di un sistema ciclico limitato, concentrandoci esclusivamente sul valore...

Benvenuti alla prima pubblicazione di questo blog, dedicato al mio percorso accademico in crittografia. L'obiettivo di questo post è introdurre i concetti matematici fondamentali che garantiscono la sicurezza delle nostre comunicazioni digitali. È importante sottolineare che la matematica utilizzata in crittografia è profondamente diversa da quella che applichiamo nelle nostre routine quotidiane. L'assoluta necessità di esattezza Nella vita quotidiana, l'uso di approssimazioni è molto comune. Ad esempio, se un prodotto costa 1,99 dollari, lo consideriamo naturalmente come 2,00 dollari. Tuttavia, nel campo della crittografia moderna, non c'è tolleranza per gli errori di arrotondamento. Se un algoritmo crittografico approssima un valore anche solo di una frazione microscopica, l'intero sistema fallisce. La "chiave" digitale utilizzata per crittografare un messaggio non sarebbe più in grado di decrittografarlo, rendendo le informaz...